дано:
- треугольник ABC.
- высоты AM и CK, опущенные из вершин A и C соответственно.
- окружность, проходящая через точки B, K и M.
найти:
доказать, что касательные к этой окружности, проведенные в точках M и K, пересекаются на стороне AC.
решение:
1. Обозначим точку пересечения касательных, проведенных в точках M и K, как P.
2. По свойству касательных к окружности, проведенные из одной точки, они равны:
PM = PK.
3. Углы, образованные касательными и радиусами, проведенными в точки M и K, равны:
угол PMB = угол PKB.
4. Поскольку AM и CK — высоты, точки M и K находятся на противоположных сторонах отрезков AB и AC.
5. Рассмотрим треугольник ABM и треугольник CBK. Углы при вершине A и C равны соответственно углам при точках M и K.
6. Это означает, что треугольники ABM и CBK подобны, и следовательно, отрезок PK пересекает сторону AC.
7. Таким образом, касательные к окружности, проведенные в точках M и K, пересекаются на стороне AC.
ответ:
касательные к окружности, проведенные в точках M и K, пересекаются на стороне AC.