дано:
- выпуклый четырехугольник ABCD.
- угол BDC = 2 * угол BAC.
- угол ADB = 2 * угол BCA.
найти:
доказать, что треугольник ADC равнобедренный.
решение:
1. Обозначим угол BAC как α, угол BCA как β. Тогда, по условиям задачи, угол BDC = 2α и угол ADB = 2β.
2. Рассмотрим сумму углов в треугольнике ADB:
∠ADB + ∠ABD + ∠BAD = 180°.
Подставим известные значения:
2β + ∠ABD + α = 180°.
3. Теперь рассмотрим угол BDC в четырехугольнике ABCD:
∠BDC + ∠CDB + ∠DBA = 180°.
Подставим:
2α + ∠CDB + (180° - 2β - α) = 180°.
4. Упростим уравнение:
2α + ∠CDB + 180° - 2β - α = 180°.
Это приводит к:
α + ∠CDB - 2β = 0,
или
∠CDB = 2β - α.
5. Теперь в треугольнике ADC у нас есть углы:
∠ADC = ∠CDB = 2β - α и ∠DAC = α.
6. Поскольку угол ADB = 2β, то угол DAC = ∠ADB - ∠ABD = 2β - ∠ABD.
7. Таким образом, угол DAC равен углу ADC, что означает, что треугольник ADC равнобедренный.
ответ:
треугольник ADC равнобедренный.