Дано:
Параллелограмм ABCD, который разрезан на четыре меньших параллелограмма. Обозначим два закрашенных параллелограмма как P1 и P2, имеющие равные площади.
Найти:
Докажите, что общая вершина параллелограммов P1 и P2 лежит на диагонали большого параллелограмма ABCD.
Решение:
1. Обозначим площади параллелограммов P1 и P2 как S1 и S2 соответственно, где S1 = S2.
2. Пусть общая вершина закрашенных параллелограммов обозначается как точка O.
3. Параллелограммы P1 и P2 имеют одну сторону, которая является частью одной из сторон большого параллелограмма ABCD.
4. Рассмотрим диагонали параллелограмма ABCD, которые пересекаются в точке E.
5. Если O не лежит на диагонали AC или BD, то можно провести линию от точки O к противоположным вершинам A или C и B или D. Эта линия будет перпендикулярна к одной из сторон большого параллелограмма.
6. Поскольку площади P1 и P2 равны, то площадь треугольника AOB равна площади треугольника COD (или аналогично для других треугольников).
7. Это указывает на то, что высоты, проведенные из точки O на стороны AB и CD, также равны, что возможно только в том случае, если точка O лежит на диагонали.
8. Если бы точка O не находилась на диагонали, то одна из высот была бы больше другой, что привело бы к неравенству площадей.
9. Таким образом, общая вершина O закрашенных параллелограммов P1 и P2 должна лежать на диагонали ABCD.
Ответ:
Общая вершина закрашенных параллелограммов лежит на диагонали большого параллелограмма.