Дано:
Треугольник ABC с медианами AD, BE и CF, проведенными из вершин A, B и C соответственно на противоположные стороны. Пусть D, E и F — середины сторон BC, AC и AB.
Найти:
Докажите, что медианы пересекаются в одной точке (центре масс треугольника).
Решение:
1. Рассмотрим площадь треугольника ABC. Обозначим ее S.
2. Медиана AD делит треугольник ABC на два меньших треугольника ABD и ACD. Площадь этих треугольников равна:
S(ABD) = S(ACD) = S / 2.
3. Далее, медиана BE делит треугольник ABC на два треугольника ABE и BCE. Площадь этих треугольников также равна:
S(ABE) = S(BCE) = S / 2.
4. Медиана CF делит треугольник ABC на два треугольника ACF и BCF. Площадь этих треугольников опять равна:
S(ACF) = S(BCF) = S / 2.
5. Теперь рассмотрим точку G, в которой пересекаются медианы AD, BE и CF. Эта точка делит каждую из медиан в отношении 2:1.
6. Например, медиана AD делится на AG и GD, где AG = (2/3)AD и GD = (1/3)AD.
7. Площадь треугольника AGD равна:
S(AGD) = (1/3) * S(ABD) = (1/3) * (S / 2) = S / 6.
8. Аналогично, площади треугольников BGE и CGF также равны S / 6, так как они имеют одинаковую высоту и основание, пропорционально делятся медианами.
9. Таким образом, каждая из медиан делит треугольник на три треугольника, каждая из которых имеет площадь S / 6.
10. Поскольку площади всех треугольников, образованных медианами и точкой пересечения G, равны, это подтверждает, что медианы пересекаются в одной точке G.
Ответ:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, деля треугольник на три меньших треугольника равной площади.