Question

Через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее боковым сторонам провели две прямые. Первая из них пересекла одно ее основание в точке М, а вторая — другое основание в точке К. Докажите, что отрезок МК делит одну из диагоналей трапеции пополам.

Answer 1

Дано:
Трапеция ABCD, где AB || CD. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Через точку O параллельно боковым сторонам AB и CD проведены две прямые, которые пересекают основание AB в точке M и основание CD в точке K.

Найти:

Докажите, что отрезок MK делит одну из диагоналей трапеции пополам.

Решение:

1. Обозначим длины оснований:
   AB = a,
   CD = b.

2. Параллельные прямые, проведенные через O, создают два подобных треугольника:
   - Треугольник AMO и треугольник CKO.
   - Треугольник BMO и треугольник DKO.

3. Поскольку M и K расположены на параллельных прямых, отрезок MK будет параллелен боковым сторонам AB и CD.

4. Из подобия треугольников AMO и CKO можно написать пропорцию:
   AM / MC = AO / OC.

5. Аналогично, из подобия треугольников BMO и DKO:
   BM / MD = BO / OD.

6. Поскольку M и K делят соответствующие отрезки на основании, и отрезок MK является параллельным боковым сторонам, то:
   AM / MC = BM / MD.

7. Это означает, что отрезок MK делит диагональ AC пополам, так как отношение отрезков на основании равно.

8. Следовательно, точка O является средней точкой отрезка MK, и отрезок MK делит одну из диагоналей трапеции пополам.

Ответ:
Отрезок MK делит одну из диагоналей трапеции пополам.