Дано:
Треугольник ABC со сторонами a, b, c и радиусом вневписанной окружности Ra, касающейся стороны a. Пусть p — половина периметра треугольника.
Найти:
Докажите, что площадь треугольника S можно вычислять по формуле S = Ra(p - a).
Решение:
1. Полупериметр p треугольника можно выразить как:
p = (a + b + c) / 2.
2. Тогда (p - a) можно записать как:
p - a = (b + c - a) / 2.
3. Площадь S треугольника можно выразить через радиус вневписанной окружности Ra и полупериметр p:
S = Ra * p.
4. Подставим значение p:
S = Ra * (a + b + c) / 2.
5. Но также по свойству вневписанной окружности, площадь S можно записать как:
S = Ra * (p - a).
6. Таким образом, площадь треугольника через радиус вневписанной окружности и половину периметра выражается как:
S = Ra * (p - a).
7. Теперь подставим p:
S = Ra * ((a + b + c)/2 - a) = Ra * (b + c - a)/2.
Ответ:
Площадь треугольника S = Ra(p - a).