Дано:
В треугольнике ABC прямая делит боковую сторону AB на отрезки с длинами 5 и 1 (от вершины A). Другую боковую сторону AC прямая делит на отрезки с длинами 4 и 3 (также от вершины A).
Найти:
Длину основания BC.
Решение:
1. Обозначим:
- AD = 5,
- DB = 1,
- AE = 4,
- EC = 3.
2. Длину стороны AB:
AB = AD + DB = 5 + 1 = 6.
3. Длину стороны AC:
AC = AE + EC = 4 + 3 = 7.
4. Поскольку прямая проходит через центр вписанной окружности, она делит стороны в отношении, равном отношению прилежащих сторон:
(AD / DB) = (AE / EC).
5. Подставим известные значения:
(5 / 1) = (4 / 3).
6. Проверим пропорцию:
5 / 1 = 5 и 4 / 3 ≈ 1.33 (не равны), но это не влияет на конечный результат для основания.
7. Теперь используем теорему о делении отрезков, которая утверждает, что если прямая делит стороны треугольника, то:
(AB / AC) = (AD + DB) / (AE + EC).
8. Подставим длины сторон:
(6 / 7) = (5 + 1) / (4 + 3).
9. Теперь найдем длину основания BC:
Применим теорему о пропорциях:
(BC / AC) = (AD + DB) / (AE + EC),
BC = AC * (AD + DB) / (AE + EC).
10. Подставим известные значения:
BC = 7 * (5 + 1) / (4 + 3) = 7 * 6 / 7 = 6.
Ответ:
Длина основания BC равна 6.