дано:
радиус окружности (r) = 8 см.
отношение деления боковой стороны (h) = 5 : 4.
найти:
площадь треугольника (S).
решение:
1. Обозначим длины отрезков боковой стороны треугольника. Пусть h1 = 5k и h2 = 4k, где k - коэффициент пропорциональности. Тогда общая длина боковой стороны будет:
h = h1 + h2 = 5k + 4k = 9k.
2. Полупериметр треугольника можно выразить через основание (b) и боковые стороны (h):
p = (b + 2h) / 2 = (b + 2(9k)) / 2 = (b + 18k) / 2.
3. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности выражается как:
S = r * p.
Подставляем значения:
S = 8 * (b + 18k) / 2 = 4(b + 18k).
4. Теперь найдем b через длины отрезков. Для этого используем теорему о площади равнобедренного треугольника. Площадь можно также найти через высоту, проведенную из вершины к основанию (h), которая делит основание пополам. Высота в равнобедренном треугольнике делится на два отрезка, используя соотношение отрезков h1 и h2.
5. Найдем отношение высоты к основанию:
Если высота h1 соответствует отрезку 5k, то h2 = 4k.
По формуле: h = sqrt(h^2 - (b/2)^2), где h - высота, b - основание.
Принимаем, что h1 и h2 равны по высоте:
h = sqrt((5k)^2 - (b/2)^2) и h = sqrt((4k)^2 - (b/2)^2).
6. Установим равенство:
sqrt((5k)^2 - (b/2)^2) = sqrt((4k)^2 - (b/2)^2).
Квадратируем обе стороны:
(5k)^2 - (b/2)^2 = (4k)^2 - (b/2)^2.
7. Упрощаем:
25k^2 - (b/2)^2 = 16k^2 - (b/2)^2.
Убираем одинаковые части:
25k^2 = 16k^2 => 9k^2 = b^2/4 => b^2 = 36k^2 => b = 6k.
8. Подставив значение b в формулу для площади:
S = 4(b + 18k) = 4(6k + 18k) = 4(24k) = 96k.
9. Теперь нужно найти k. Используем радиус окружности для определения k:
r = (S / p) => 8 = (96k / ((6k + 18k)/2)).
Упрощаем:
8 = (96k / (12k)) => 8 = 8 => верно.
Значит, можем выбрать k любое положительное значение, например k = 1.
10. Тогда основание b = 6 * 1 = 6 см и высота = 9 см.
11. Подставляем k=1 в площадь:
S = 96 * 1 = 96 см².
ответ:
площадь треугольника равна 96 см².