Дано:
Треугольник ABC со сторонами a = 4, b = 5 и c = 6. Пусть AB = 6, AC = 5, BC = 4. Обозначим точки:
- D — середина стороны AB,
- I — центр вписанной окружности.
Найти:
В каком отношении прямая, проходящая через точки D и I, делит сторону BC.
Решение:
1. Найдем координаты точек A, B и C.
- Пусть A(0, 0), B(6, 0).
- Для нахождения точки C используем формулу для расстояния:
- AC = 5, BC = 4.
- Обозначим координаты C как (x, y).
2. Записываем уравнения для расстояний:
- (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2 → x^2 + y^2 = 25.
- (x - 6)^2 + (y - 0)^2 = 4^2 → (x - 6)^2 + y^2 = 16.
3. Раскроем второе уравнение:
- x^2 - 12x + 36 + y^2 = 16.
- Подставим x^2 + y^2 = 25:
- 25 - 12x + 36 = 16 → -12x + 61 = 16 → 12x = 45 → x = 3.75.
4. Подставим x в первое уравнение для нахождения y:
- (3.75)^2 + y^2 = 25 → 14.0625 + y^2 = 25 → y^2 = 10.9375 → y = √10.9375 ≈ 3.31.
5. Теперь у нас есть координаты:
- A(0, 0), B(6, 0), C(3.75, 3.31).
- Найдем координаты D:
- D = ((0 + 6) / 2, (0 + 0) / 2) = (3, 0).
6. Найдем координаты I (центр вписанной окружности):
- Используем формулы для координат центра вписанной окружности:
- I_x = (aA_x + bB_x + cC_x) / (a + b + c)
- I_y = (aA_y + bB_y + cC_y) / (a + b + c).
7. Подставим:
- I_x = (4*0 + 5*6 + 6*3.75) / (4 + 5 + 6) = (0 + 30 + 22.5) / 15 = 52.5 / 15 = 3.5.
- I_y = (4*0 + 5*0 + 6*3.31) / 15 = 19.86 / 15 ≈ 1.31.
8. Теперь у нас есть точки D(3, 0) и I(3.5, 1.31). Найдем уравнение прямой DI:
- Угловой коэффициент m = (I_y - D_y) / (I_x - D_x) = (1.31 - 0) / (3.5 - 3) = 1.31 / 0.5 = 2.62.
9. Уравнение прямой:
- y - 0 = 2.62(x - 3) → y = 2.62x - 7.86.
10. Подставим x = 0 для нахождения точки пересечения с BC:
- 0 = 2.62x - 7.86 → 7.86 = 2.62x → x = 7.86/2.62 ≈ 3.
11. Сторона BC делится в отношении:
- Отрезок от B до точки пересечения (3) и от точки пересечения до C (4 - 3 = 1).
- Таким образом, отношение BD : DC = 3 : 1.
Ответ:
Прямая делит сторону BC в отношении 3 : 1.