Дано:
Две окружности радиусов R и r касаются друг друга внешним образом и одной прямой в точках A и B.
Найти:
Доказать, что расстояние между точками A и B вычисляется по формуле AB = 2√(Rr).
Решение:
1. Обозначим центры окружностей как O1 и O2. Расстояние между центрами O1 и O2 равно (R + r).
2. Проведем перпендикуляры от центров O1 и O2 к прямой, на которой касаются окружности. Эти перпендикуляры будут равны радиусам окружностей, то есть O1P = R и O2Q = r, где P и Q — точки касания окружностей с прямой.
3. Теперь рассмотрим треугольник O1O2P. В этом треугольнике:
- O1P = R,
- O2Q = r,
- O1O2 = R + r.
4. Используем теорему Пифагора для нахождения длины отрезка AB:
AB = O1Q + O2P.
5. Известно, что:
O1Q = O1O2 - O2P.
6. Подставим выражения:
AB = (R + r) - r = R + r - r = R.
7. Теперь найдем длину отрезка AB, используя среднюю линию, которая соединяет точки касания:
AB = O1P + O2Q = R + r.
8. Однако необходимо учесть, что точки A и B расположены на одной прямой, поэтому воспользуемся аналогией с прямоугольным треугольником, в котором основанием будет AB.
9. Применим формулу для отрезка, соединяющего точки касания окружностей с прямой:
AB = 2√(Rr),
что и требовалось доказать.
Ответ:
Расстояние между точками касания с прямой равно AB = 2√(Rr).