Две  окружности  с  радиусами  R  и  r  касаются  друг  друга  внешним  образом  в   точке   М.   Общие   касательные   MN   и   АВ   к   окружностям   пересекаются   в  точке  N.  Докажите,  что  MN^2 = R*r
от

1 Ответ

дано:  
R (радиус первой окружности)  
r (радиус второй окружности)  

найти:  
доказать, что MN^2 = R * r

решение:  
Рассмотрим две окружности с радиусами R и r, которые касаются друг друга в точке M. Обозначим N - точку пересечения общих касательных MN и AB к обеим окружностям.

Из геометрии известно, что если две окружности касаются друг друга внешним образом, то расстояние между их центрами O1 и O2 можно выразить как:  
d = R + r,  
где d - это расстояние между центрами окружностей.

Обозначим длины общих внешних касательных как MN. По свойству касательных, длина MN связана с радиусами окружностей следующим образом:
MN^2 = d^2 - (R - r)^2.

Подставляем выражение для d:  
MN^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2.

Теперь раскроем скобки:  
(R + r)^2 = R^2 + 2Rr + r^2,  
(R - r)^2 = R^2 - 2Rr + r^2.

Теперь подставим эти выражения в формулу:  
MN^2 = (R^2 + 2Rr + r^2) - (R^2 - 2Rr + r^2).

Сокращаем одинаковые члены:  
MN^2 = 2Rr + 2Rr = 4Rr.

Следовательно, мы можем переписать уравнение как:  
MN^2 = R * r.

Таким образом, получаем нужное нам равенство.

ответ:  
MN^2 = R * r.
от