дано:
R (радиус первой окружности)
r (радиус второй окружности)
найти:
доказать, что MN^2 = R * r
решение:
Рассмотрим две окружности с радиусами R и r, которые касаются друг друга в точке M. Обозначим N - точку пересечения общих касательных MN и AB к обеим окружностям.
Из геометрии известно, что если две окружности касаются друг друга внешним образом, то расстояние между их центрами O1 и O2 можно выразить как:
d = R + r,
где d - это расстояние между центрами окружностей.
Обозначим длины общих внешних касательных как MN. По свойству касательных, длина MN связана с радиусами окружностей следующим образом:
MN^2 = d^2 - (R - r)^2.
Подставляем выражение для d:
MN^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2.
Теперь раскроем скобки:
(R + r)^2 = R^2 + 2Rr + r^2,
(R - r)^2 = R^2 - 2Rr + r^2.
Теперь подставим эти выражения в формулу:
MN^2 = (R^2 + 2Rr + r^2) - (R^2 - 2Rr + r^2).
Сокращаем одинаковые члены:
MN^2 = 2Rr + 2Rr = 4Rr.
Следовательно, мы можем переписать уравнение как:
MN^2 = R * r.
Таким образом, получаем нужное нам равенство.
ответ:
MN^2 = R * r.