Дано:
- Радиус первой окружности R.
- Радиус второй окружности SR.
- Окружности касаются друг друга внешним образом.
- К окружностям проведена общая внешняя касательная.
Найти:
- Площадь фигуры, ограниченной касательной и двумя окружностями.
Решение:
1. Пусть расстояние между центрами окружностей равно (R + SR), так как окружности касаются друг друга внешним образом.
2. Для нахождения площади фигуры, ограниченной касательной и двумя окружностями, нужно рассмотреть геометрическую ситуацию.
Фигура, ограниченная касательной и двумя окружностями, состоит из следующих частей:
- Касательная линия, которая касается двух окружностей в точках касания.
- Два сектора, каждый из которых ограничен радиусами окружностей и касательной.
3. Площадь фигуры можно выразить как разницу между площадью сектора большой окружности и сектором маленькой окружности, а также прибавить площадь прямоугольного треугольника, образованного касательной и радиусами обеих окружностей.
Площадь фигуры:
Площадь фигуры будет составлять площадь прямоугольного треугольника, образованного радиусами обеих окружностей и касательной, плюс площадь двух секторов, ограниченных касательной и радиусами окружностей.
Площадь прямоугольного треугольника:
Треугольник имеет катеты, равные R и SR, и гипотенузу, равную расстоянию между центрами окружностей, которое равно (R + SR). Площадь этого треугольника можно вычислить по формуле:
S_треугольник = 1/2 * R * SR.
Площадь секторов:
Площадь каждого сектора можно найти по формуле:
S_сектор = (α/360) * π * r², где α - угол сектора, r - радиус окружности.
Для каждого сектора угол α будет равен 90° (так как касательная образует прямой угол с радиусом окружности в точке касания). Площадь каждого сектора тогда будет равна:
S_сектор = 1/4 * π * r².
Для первой окружности:
S_сектор_1 = 1/4 * π * R².
Для второй окружности:
S_сектор_2 = 1/4 * π * (SR)².
Общая площадь фигуры:
Теперь можем найти общую площадь фигуры:
S_общая = S_треугольник + S_сектор_1 + S_сектор_2.
Подставим значения:
S_общая = 1/2 * R * SR + 1/4 * π * R² + 1/4 * π * (SR)².
Ответ:
S_общая = 1/2 * R * SR + 1/4 * π * R² + 1/4 * π * (SR)².