Дано:
- Две окружности, касающиеся в точке A.
- Общая внешняя касательная, касающаяся окружностей в точках C и B.
Найти:
- Угол CAB.
Решение:
1. Обозначим радиусы внутренних окружностей как R1 и R2, а центры окружностей как O1 и O2 соответственно.
2. Поскольку окружности касаются в точке A, то расстояние между центрами O1 и O2 равно R1 + R2.
3. Точки B и C являются точками касания внешней касательной с окружностями, которые перпендикулярны радиусам в точках касания. То есть:
O1C перпендикулярен BC,
O2B перпендикулярен CB.
4. Рассмотрим треугольник O1AB. В этом треугольнике:
- O1C перпендикулярен BC (по определению касательной).
- O2B также перпендикулярен CB.
5. Так как O1C и O2B являются радиусами, проведенными к точкам касания, то угол между радиусами O1C и O2B равен 180° - угол CAB.
6. Таким образом, поскольку O1C перпендикулярен BC и O2B перпендикулярен CB, то линии O1C и O2B образуют два прямых угла в точках C и B.
7. Следовательно, угол CAB равен 90°.
Ответ:
Угол CAB равен 90°.