Дано:
Две окружности касаются внутренним образом.
Точка A — пересечение линии центров с меньшей окружностью.
Точка B — пересечение линии центров с большей окружностью.
Хорда большей окружности, перпендикулярная прямой AB, делится на четыре равные части.
Найти:
Отношение AC : AB.
Решение:
1. Обозначим радиус меньшей окружности как r1 и радиус большей окружности как r2.
2. Поскольку хорда делится на четыре равные части, длина хорды CD будет равна 4x, где x — длина одной части.
3. Поскольку точка C делит хорду на четыре равные части, точка C находится на расстоянии 2x от точки A и 2x от точки D (где D — противоположная точка на хорде).
4. Обозначим длину отрезка AB как d. По свойству касательных и внутреннего касания окружностей:
d = r2 - r1.
5. Из геометрии известно, что треугольник ABC является прямоугольным, где AC — один из катетов, а AB — гипотенуза.
6. Поскольку A и C находятся на одной прямой, и хорда перпендикулярна прямой AB, можно записать соотношение:
AC^2 + (2x)^2 = AB^2, где AB = d.
7. Подставим значения:
AC^2 + 4x^2 = d^2.
8. Для нахождения отношения AC : AB, выразим AC:
AC = √(d^2 - 4x^2).
9. Теперь найдем отношение:
AC : AB = √(d^2 - 4x^2) : d.
10. Упрощая это отношение, мы получаем:
AC : AB = √(d^2 - 4x^2) / d.
11. В зависимости от значений d и x, можно вычислить конкретное отношение.
Ответ:
Отношение AC : AB = √(d^2 - 4x^2) : d.