дано:
Радиус меньшей окружности r1 = 3,
Радиус большей окружности r2 = 5,
Угол ∠АВО1 = 15°.
найти:
Площадь четырехугольника O1O2BC.
решение:
1. Определим расстояние между центрами окружностей O1 и O2. Поскольку окружности касаются в точке A, это расстояние равно сумме радиусов:
O1O2 = r1 + r2 = 3 + 5 = 8.
2. Рассмотрим треугольник ABO1. В этом треугольнике известны два угла:
- Угол ∠AOB = 180° - ∠АВО1 = 180° - 15° = 165°.
3. Для нахождения длины отрезка AB используем закон синусов:
AB / sin(∠O1AB) = O1A / sin(∠O1BA),
где O1A = r1 = 3.
4. Так как угол ∠AOB равен 165°, то:
O1B = r1 = 3,
O2C = r2 = 5.
5. Суммируем длины отрезков:
AB = (r1 * sin(15°)) / sin(165°).
6. Теперь найдем координаты точек B и C относительно точки A. Поскольку угол ∠АВО1 = 15°, можно выразить координаты через полярные координаты или воспользоваться тригонометрией для получения длин отрезков.
7. Чтобы найти площадь четырехугольника O1O2BC, нужно вычислить площади треугольников O1AB и O2AC. Площадь треугольника можно выразить по формуле:
S = 0.5 * основание * высота.
8. Высота треугольника определяется через радиусы окружностей и угол, а основание будет равно отрезку O1O2, который мы нашли ранее.
9. Площадь треугольника O1AB равна:
S1 = 0.5 * O1A * O1B * sin(15°) = 0.5 * 3 * 3 * sin(15°).
10. Площадь треугольника O2AC аналогично равна:
S2 = 0.5 * O2A * O2C * sin(15°) = 0.5 * 5 * 5 * sin(15°).
11. Тогда общая площадь четырёхугольника O1O2BC будет равна:
S_total = S1 + S2 = (0.5 * 3 * 3 + 0.5 * 5 * 5) * sin(15°) = (4.5 + 12.5) * sin(15°).
ответ:
Площадь четырехугольника O1O2BC равна 16 * sin(15°).