Дано:
Прямоугольный треугольник ABC, где угол C — прямой.
Катеты AC = a и BC = b.
Гипотенуза AB = c.
Перпендикуляр CH, опущенный из вершины C на гипотенузу AB.
Найти:
Докажите, что площади двух прямоугольников, образованных перпендикуляром CH, равны площадям квадратов, построенных на катетах.
Решение:
1. Построим квадрат на гипотенузе AB, площадь которого равна c^2.
2. Перпендикуляр CH делит квадрат на два прямоугольника:
- Прямоугольник 1 с основанием AH и высотой CH.
- Прямоугольник 2 с основанием BH и высотой CH.
3. Площадь первого прямоугольника:
S1 = AH * CH.
4. Площадь второго прямоугольника:
S2 = BH * CH.
5. По свойству подобия треугольников:
Треугольник AHC подобен треугольнику ABC, и можно записать:
AH / AC = CH / AB,
AH = (CH * a) / c.
6. Площадь первого прямоугольника:
S1 = ((CH * a) / c) * CH = (a * CH^2) / c.
7. Аналогично, для второго прямоугольника:
BH / BC = CH / AB,
BH = (CH * b) / c.
8. Площадь второго прямоугольника:
S2 = ((CH * b) / c) * CH = (b * CH^2) / c.
9. Теперь складываем площади прямоугольников:
S1 + S2 = (a * CH^2) / c + (b * CH^2) / c = ((a + b) * CH^2) / c.
10. Площадь квадрата на гипотенузе равна:
S = c^2.
11. Из подобия треугольников:
CH^2 = (a * b) / c.
12. Таким образом, получаем:
(a * b) / c = (S1 + S2) / c.
13. Умножив обе стороны на c, получаем:
a^2 + b^2 = c^2.
Вывод:
Площадь прямоугольников равна площадям квадратов, построенных на катетах треугольника. Таким образом, выводим теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2.