Дано:
Радиус круга R = 1 м.
Угол сектора θ = 45°.
Найти:
Площадь вписанного квадрата S.
Решение:
1. Обозначим сторону квадрата как s. Вписанный квадрат будет располагаться так, что одна его вершина лежит на окружности, а две другие — на радиусах сектора.
2. Угол между радиусами, на которых лежат две вершины квадрата, равен 45°.
3. Высота квадрата h и его основание b будут равны стороне квадрата s, и можно записать:
h = s и b = s.
4. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом и основанием квадрата, можно использовать тригонометрию:
sin(22.5°) = (s/2) / R,
где 22.5° — это половина угла 45°.
5. Подставим радиус:
sin(22.5°) = (s/2) / 1.
6. Отсюда:
s/2 = sin(22.5°),
s = 2 * sin(22.5°).
7. Используем значение sin(22.5°):
sin(22.5°) = √(2 - √2) / 2.
8. Подставляем:
s = 2 * (√(2 - √2) / 2) = √(2 - √2).
9. Площадь квадрата:
S = s^2 = (√(2 - √2))^2 = 2 - √2.
Ответ:
Площадь квадрата равна 2 - √2 м².