Дано: 64 камня, попарно различных масс.
Найти: Доказать, что за 68 взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить самый тяжёлый и второй по массе камни.
Решение:
1. Найдём самого тяжёлого камня с помощью метода турнира:
- На первом этапе сравниваем камни попарно, что требует 32 взвешивания (64 камня / 2).
- На втором этапе сравниваем победителей первого этапа, что требует 16 взвешиваний (32 камня / 2).
- На третьем этапе сравниваем победителей второго этапа, что требует 8 взвешиваний (16 камней / 2).
- На четвёртом этапе снова сравниваем победителей, что требует 4 взвешивания (8 камней / 2).
- На пятом этапе снова сравниваем победителей, что требует 2 взвешивания (4 камня / 2).
- На последнем этапе сравниваем двух оставшихся камней, что требует 1 взвешивание (2 камня / 2).
Итак, для нахождения самого тяжёлого камня требуется 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63 взвешивания.
2. После нахождения самого тяжёлого камня нам нужно найти второй по массе камень. Этот камень должен быть одним из тех, кто проиграл самому тяжёлому на любом из этапов турнира. Существует максимум 6 камней, которые могли быть побеждены самым тяжёлым камнем (по количеству этапов турнира).
3. Для нахождения второго по массе камня из этих 6 камней нужно провести дополнительные взвешивания. Мы можем это сделать следующим образом:
- Сравниваем 6 камней попарно, что требует 5 взвешиваний (по формуле: 6 - 1).
Итак, для нахождения второго по массе камня потребуется 5 взвешиваний.
Общее количество взвешиваний: 63 (для нахождения самого тяжёлого) + 5 (для нахождения второго по массе) = 68 взвешиваний.
Ответ: Для нахождения самого тяжёлого и второго по массе камней требуется не более 68 взвешиваний.