Дано:
- 14 монет.
- Монеты с 1-й по 7-ю фальшивые, с 8-й по 14-ю настоящие.
- Фальшивые монеты легче настоящих.
Найти:
- Можно ли доказать, что монеты с 1-й по 7-ю фальшивые, а с 8-й по 14-ю настоящие, за три взвешивания на чашечных весах без гирь.
Решение:
1. Первое взвешивание:
- Разделите 14 монет на две группы по 7 монет (группа A: 1-7, группа B: 8-14).
- Взвесьте группу A против группы B.
Возможные исходы:
- Если весы уравновешены, группы A и B имеют одинаковый вес. Это означает, что все монеты в обеих группах одинаковы по весу. Однако, поскольку фальшивые монеты легче, это невозможно (т.к. монеты с 1-й по 7-ю легче).
- Если весы не уравновешены, группа A (с 1-й по 7-ю) легче группы B (с 8-й по 14-ю). Это подтверждает, что монеты в группе A легче, следовательно, монеты с 1-й по 7-ю фальшивые.
2. Второе взвешивание:
- Для подтверждения, возьмите по 3 монеты из группы A и 3 монеты из группы B и сравните их на весах (например, 1-3 из группы A против 8-10 из группы B).
Возможные исходы:
- Если весы уравновешены, это подтверждает, что 3 монет из группы A действительно легче, и все оставшиеся монеты в группе A тоже должны быть легче.
- Если весы не уравновешены, то вы уже подтвердили, что группа A легче группы B, что означает, что монеты в группе A легче, а в группе B тяжелее.
3. Третье взвешивание:
- Для окончательной проверки возьмите 1 монету из группы A и 1 монету из группы B и сравните их.
Возможные исходы:
- Если весы показывают, что монета из группы A легче, это подтверждает, что монеты из группы A фальшивые, а из группы B настоящие.
- Если весы уравновешены или монета из группы A не легче, это указывает на ошибку, но для данного условия весы должны подтвердить различие.
Ответ:
Да, эксперт может доказать, что монеты с 1-й по 7-ю фальшивые, а с 8-й по 14-ю настоящие, за три взвешивания на чашечных весах без гирь.