Дано:
1. Конечное множество единичных квадратов на плоскости.
2. Стороны всех квадратов параллельны осям координат.
3. Для любой пары квадратов расстояние между их центрами не больше 2.
Найти:
Единичный квадрат со сторонами, параллельными осям, который пересекается хотя бы по одной точке с каждым квадратом из данного множества.
Решение:
1. Рассмотрим единичный квадрат, который будем искать, как квадрат со стороной 1. Положим, что у нас есть n единичных квадратов.
2. Для каждого квадрата из множества определим область, в пределах которой должен находиться искомый квадрат. Если центр данного квадрата находится в точке (x_i, y_i), то координаты его границ определяются как (x_i - 0.5, x_i + 0.5) и (y_i - 0.5, y_i + 0.5).
3. Поскольку расстояние между центрами квадратов не превышает 2, пересечение всех квадратов можно гарантировать, если мы рассмотрим объединенную область всех таких квадратов. В пределах этой объединенной области мы должны найти единичный квадрат, который пересекает все данные квадраты.
4. Построим прямоугольник, который охватывает все центры данных квадратов. Его размеры будут не меньше (максимальная координата x - минимальная координата x) и (максимальная координата y - минимальная координата y). Поскольку расстояния между центрами не превышают 2, этот прямоугольник будет иметь размеры, не превышающие 4 по каждой стороне.
5. Разделим прямоугольник на меньшие квадраты со стороной 1. Поскольку данный прямоугольник имеет размеры не более 4 на 4, он будет содержать не менее одного такого единичного квадрата, который пересекается с любым квадратом из исходного множества.
Ответ:
Существует единичный квадрат, пересекающийся хотя бы по одной точке с каждым квадратом из данного множества.