дано: Набор чисел от 1 до 2007.
найти: Наибольшее количество чисел, которые можно выбрать из данного набора, чтобы сумма любых двух выбранных чисел делилась на 8.
решение:
1. Рассмотрим числа по их остаткам при делении на 8. Остатки могут быть: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
2. Если сумма двух чисел делится на 8, то их остатки при делении на 8 также должны удовлетворять этому условию. Рассмотрим возможные пары остатков:
- Остаток 0 + остаток 0 = 0 (делится на 8).
- Остаток 1 + остаток 7 = 8 (делится на 8).
- Остаток 2 + остаток 6 = 8 (делится на 8).
- Остаток 3 + остаток 5 = 8 (делится на 8).
- Остаток 4 + остаток 4 = 8 (делится на 8).
3. Исходя из этого, мы не можем выбирать более одного числа с остатком 0 и можем выбирать максимум по одному числу из остальных пар остатков (1 и 7, 2 и 6, 3 и 5).
4. Теперь определим количество чисел с каждым остатком от 0 до 7 в диапазоне от 1 до 2007.
- Остаток 0: Числа вида 8k (где k от 1 до 250), всего 251 чисел.
- Остаток 1: Числа вида 8k + 1 (где k от 0 до 250), всего 251 чисел.
- Остаток 2: Числа вида 8k + 2 (где k от 0 до 250), всего 251 чисел.
- Остаток 3: Числа вида 8k + 3 (где k от 0 до 250), всего 251 чисел.
- Остаток 4: Числа вида 8k + 4 (где k от 0 до 250), всего 251 чисел.
- Остаток 5: Числа вида 8k + 5 (где k от 0 до 250), всего 251 чисел.
- Остаток 6: Числа вида 8k + 6 (где k от 0 до 250), всего 251 чисел.
- Остаток 7: Числа вида 8k + 7 (где k от 0 до 250), всего 251 чисел.
5. Выбираем наибольшее количество чисел, следуя правилам:
- Выбираем только одно число с остатком 0.
- Выбираем числа с остатками 1 и 7. Можно выбрать максимум 251 чисел из остатка 1 и 251 из остатка 7.
- Выбираем числа с остатками 2 и 6. Можно выбрать максимум 251 чисел из остатка 2 и 251 из остатка 6.
- Выбираем числа с остатками 3 и 5. Можно выбрать максимум 251 чисел из остатка 3 и 251 из остатка 5.
- Для остатка 4 можно выбрать только одно число, так как другие числа с тем же остатком уже включены в выборку.
6. Подсчитываем максимальное количество чисел:
- Одно число с остатком 0.
- 251 чисел с остатком 1 + 251 чисел с остатком 7 = 502 чисел.
- 251 чисел с остатком 2 + 251 чисел с остатком 6 = 502 чисел.
- 251 чисел с остатком 3 + 251 чисел с остатком 5 = 502 чисел.
- Одно число с остатком 4.
7. Суммируем все количества: 1 (остаток 0) + 502 (остатки 1 и 7) + 502 (остатки 2 и 6) + 502 (остатки 3 и 5) + 1 (остаток 4) = 2008.
ответ: Наибольшее количество чисел, которое можно выбрать, чтобы сумма любых двух чисел делилась на 8, равно 2008.