Дано:
Натуральные числа от 1 до 2024.
Найти:
Максимальное количество чисел, которые могут быть выбраны с условием неравенства n−m ≠ НОД(m,n) для любых двух выбранных чисел m, n, где m < n.
Решение:
Для нахождения максимального количества чисел, удовлетворяющих данному условию, рассмотрим, как можно выбрать числа, чтобы условие n−m ≠ НОД(m,n) выполнялось для всех выбранных пар чисел.
Если выбрать все нечётные числа от 1 до 2023, то для любых двух выбранных чисел неравенство будет выполнено, так как разность нечётных чисел всегда чётна, а их НОД равен 1. Таким образом, можно выбрать 1012 нечётных чисел.
Проверим, можно ли добавить число 2024 к этому набору. Разность 2024 - 1013 = 1011, и их НОД равен 1. Поэтому число 2024 также подходит.
Итак, максимальное количество чисел, которое может быть выбрано с заданным условием, равно 1012 + 1 = 1013.
Ответ:
Максимальное количество чисел, которое может быть выбрано из натуральных чисел от 1 до 2024, удовлетворяющих условию n−m ≠ НОД(m,n), равно 1013.