Дано:
В футбольном чемпионате участвует 30 команд. Пусть каждая команда сыграла определенное количество матчей. Необходимо доказать, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.
Найти:
Показать, что в любой момент времени, когда команды сыграли свои матчи, найдется хотя бы одна пара команд, у которых количество сыгранных матчей совпадает.
Решение:
1. Рассмотрим количество команд: 30. Пусть `n` — количество сыгранных матчей у какой-то команды. Количество матчей, которое команда может сыграть, варьируется от 0 до `k`, где `k` — максимальное количество матчей, которое может быть сыграно (например, если все команды играют друг с другом).
2. Если мы рассмотрим диапазон возможных количеств сыгранных матчей, он может быть от 0 до `k` включительно. Следовательно, возможные значения количества сыгранных матчей лежат в интервале от 0 до `k`.
3. У нас 30 команд, и для каждой команды существует определенное количество сыгранных матчей. Таким образом, у нас есть 30 значений, представляющих количество сыгранных матчей у каждой команды.
4. Однако, если количество возможных значений (количество матчей) меньше 30, то, по принципу Дирихле, хотя бы две команды должны иметь одинаковое количество сыгранных матчей. Например, если команды играют не больше 29 матчей (вместе с 0), то мы имеем 30 значений в интервале от 0 до 29. Поскольку у нас 30 команд, это значение неизбежно повторится, так как количество возможных значений равно количеству команд.
5. Если количество сыгранных матчей более 29 (например, 30 и более), все равно найдется пара команд с одинаковым количеством сыгранных матчей, так как мы все равно имеем 30 команд и каждое значение встречается не более 30 раз, что обеспечивает наличие дублирующих значений.
Ответ:
В любой момент найдется по крайней мере две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.