Дано:
- n = 12 (количество команд)
- m = 11 (каждая команда играет с каждой другой командой один раз)
Найти:
- Доказательство того, что в любой момент проведения чемпионата всегда найдутся хотя бы две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.
Решение:
1. В чемпионате участвуют 12 команд. Каждая команда может сыграть от 0 до 11 матчей (поскольку каждая команда играет с каждой другой командой один раз).
2. Таким образом, возможные значения количества сыгранных матчей для каждой команды: 0, 1, 2, ..., 11.
3. На каждом этапе чемпионата команда может сыграть любое количество матчей от 0 до 11. Однако, обратите внимание, что если одна команда сыграла 11 матчей, то она сыграла со всеми остальными командами, и все остальные команды уже сыграли как минимум по одному матчу.
4. Следовательно, максимальное количество матчей, которое может быть сыграно одной командой, - это 11. При этом минимум - 0 матчей.
5. Если мы рассмотрим количество сыгранных матчей каждой из 12 команд, то у нас есть 12 команд и 12 различных значений: {0, 1, 2, ..., 11}.
6. Однако, если хотя бы одна команда сыграла 11 матчей, то не может существовать команды, сыгравшей 0 матчей, поскольку эта команда должна была бы сыграть с командой, сыгравшей 11 матчей.
7. Таким образом, возможные варианты распределения количества сыгранных матчей становятся следующими:
- 0, 1, 2, ..., 10 (всего 11 значений) если одна команда имеет 0 матчей.
- 1, 2, ..., 11 (всего 11 значений) если не существует команды, которая сыграла 0 матчей.
8. В любом случае, если у нас 12 команд и только 11 возможных значений для количества сыгранных матчей, согласно принципу Дирихле, по крайней мере две команды должны иметь одинаковое количество сыгранных матчей.
Ответ:
В любой момент проведения чемпионата всегда найдутся хотя бы две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.