Дано: семь натуральных чисел.
Найти: Верно ли, что среди этих чисел найдутся три числа, сумма которых делится на 3.
Решение:
1. Рассмотрим каждое число по модулю 3. Каждый остаток при делении на 3 может быть 0, 1 или 2.
2. Всего существует 3 возможных остатка. Согласно принципу Дирихле, если у нас есть 7 чисел, то по этому принципу всегда найдется группа чисел, у которых остатки по модулю 3 будут повторяться.
3. Обозначим остатки чисел по модулю 3 как a1, a2, ..., a7. Остатки могут быть распределены следующим образом:
- Может быть 3 числа с остатком 0, 2 числа с остатком 1 и 2 числа с остатком 2.
- Может быть 2 числа с остатком 0, 3 числа с остатком 1 и 2 числа с остатком 2.
- Может быть 2 числа с остатком 0, 2 числа с остатком 1 и 3 числа с остатком 2.
4. Рассмотрим возможные случаи:
- Если среди чисел есть хотя бы три числа с остатком 0, их сумма обязательно делится на 3.
- Если есть хотя бы три числа с остатками 1 или 2, их сумма также будет делиться на 3, поскольку (1 + 1 + 1) mod 3 = 3 mod 3 = 0 и (2 + 2 + 2) mod 3 = 6 mod 3 = 0.
- Если нет тройки с одинаковыми остатками, то возможна ситуация с двумя числами с остатком 0 и одним числом с остатками 1 и 2. Тогда числа с остатками 1 и 2 могут составить тройку, чья сумма делится на 3.
Ответ: Да, среди семи натуральных чисел всегда найдутся три числа, сумма которых делится на 3.