В классе из 30 учеников на диктанте один ученик сделал 14 ошибок, а остальные — меньше 14. Докажите, что в классе имеется по крайней мере три ученика, сделавшие в диктанте одинаковое количество ошибок.
от

1 Ответ

Дано:
- В классе 30 учеников.
- Один ученик сделал 14 ошибок.
- Остальные 29 учеников сделали меньше 14 ошибок.

Найти:

- Доказать, что среди 30 учеников есть по крайней мере три ученика, которые сделали одинаковое количество ошибок.

Решение:

1. Обозначим количество ошибок, которое сделали остальные ученики, как x1, x2, ..., x29. Мы знаем, что 0 ≤ xi ≤ 13 для всех i (так как ни один ученик не сделал 14 ошибок).

2. Возможные количества ошибок для каждого из оставшихся учеников варьируются от 0 до 13. Таким образом, есть 14 возможных значений ошибок (0, 1, 2, ..., 13).

3. Используем принцип Дирихле (или принцип ящиков). Согласно этому принципу, если у нас есть больше объектов, чем ящиков, то хотя бы один ящик должен содержать более одного объекта.

4. В нашем случае "ящиками" будут возможные количества ошибок, а "объектами" — ученики, сделавшие эти ошибки. У нас 14 возможных значений ошибок и 29 учеников.

5. Если бы все 29 учеников распределились по 14 возможным значениям так, чтобы не было трех учеников с одинаковым количеством ошибок, то каждое значение ошибок могло бы быть присвоено не более чем двум ученикам. Иначе говоря, максимум 14*2 = 28 учеников могли бы распределиться без трех учеников с одинаковым количеством ошибок.

6. Однако у нас есть 29 учеников. Поскольку 29 больше 28, это значит, что по крайней мере одно значение ошибок должно быть у как минимум трех учеников.

Ответ:
Да, в классе имеется по крайней мере три ученика, сделавшие в диктанте одинаковое количество ошибок.
от