Дано: В вершинах куба написаны числа 1 или 0. На каждой грани написана сумма четырёх чисел, написанных в вершинах этой грани. Можно ли, чтобы суммы на всех шести гранях были различны?
Решение:
1. Вершины куба: У куба 8 вершин. Каждое число в вершинах может быть 0 или 1. Таким образом, общее число комбинаций чисел на вершинах составляет 2^8 = 256.
2. Грани куба: У куба 6 граней. Каждая грань состоит из 4 вершин. На каждой грани сумма чисел вершин может быть от 0 до 4. Это возможно, так как числа в вершинах могут быть только 0 или 1.
3. Рассмотрим возможные суммы чисел на гранях. Эти суммы могут быть 0, 1, 2, 3 или 4. Чтобы на всех шести гранях были разные суммы, числа, написанные на гранях, должны быть 0, 1, 2, 3, 4 и 5.
4. Однако, так как максимальная сумма чисел на грани куба равна 4, не возможно получить сумму 5. Это означает, что не все суммы на гранях могут быть различными, поскольку максимальная сумма 4 и нам нужно 6 уникальных значений.
Ответ:
Не может так оказаться, что все числа, написанные на гранях, различны.
Теперь рассмотрим случай, когда числа в вершинах могут быть 1 или -1.
1. Вершины куба: Аналогично, у куба 8 вершин, и числа в вершинах могут быть 1 или -1. Общее количество комбинаций чисел на вершинах также 2^8 = 256.
2. Грани куба: У куба 6 граней. Сумма чисел на каждой грани может быть от -4 до 4, включительно, в зависимости от того, сколько вершин на грани имеют значение 1 или -1.
3. Перечислим возможные суммы: минимальная сумма -4, максимальная 4. Возможные значения сумм: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. То есть, у нас есть 9 различных значений сумм.
4. Поскольку у нас 6 граней, мы можем выбрать 6 различных значений из 9 возможных.
Ответ:
Да, может так оказаться, что все числа, написанные на гранях, различны.