Дано:
- Трёхзначное число, первая цифра которого 9.
- При делении этого числа на сумму квадратов его цифр, остаток равен 0.
Найти:
- Одно возможное число.
Решение:
Обозначим трёхзначное число как 9xy, где x и y — вторая и третья цифры числа соответственно. Тогда это число можно записать как 900 + 10x + y.
Сумма квадратов его цифр будет равна 9^2 + x^2 + y^2 = 81 + x^2 + y^2.
По условию задачи, число 900 + 10x + y должно быть кратно сумме квадратов его цифр:
(900 + 10x + y) / (81 + x^2 + y^2) должно быть целым числом.
Итак, нужно найти такие x и y, чтобы выражение 900 + 10x + y делилось на 81 + x^2 + y^2 без остатка.
Попробуем различные значения для x и y.
1. Подставляем x = 0, y = 9:
900 + 10*0 + 9 = 909
81 + 0^2 + 9^2 = 81 + 81 = 162
909 / 162 = 5.62 (не целое число)
2. Подставляем x = 4, y = 5:
900 + 10*4 + 5 = 945
81 + 4^2 + 5^2 = 81 + 16 + 25 = 122
945 / 122 = 7.75 (не целое число)
3. Подставляем x = 6, y = 0:
900 + 10*6 + 0 = 960
81 + 6^2 + 0^2 = 81 + 36 = 117
960 / 117 = 8.20 (не целое число)
4. Подставляем x = 1, y = 2:
900 + 10*1 + 2 = 912
81 + 1^2 + 2^2 = 81 + 1 + 4 = 86
912 / 86 = 10.6 (не целое число)
5. Подставляем x = 2, y = 3:
900 + 10*2 + 3 = 923
81 + 2^2 + 3^2 = 81 + 4 + 9 = 94
923 / 94 = 9.81 (не целое число)
6. Подставляем x = 2, y = 6:
900 + 10*2 + 6 = 926
81 + 2^2 + 6^2 = 81 + 4 + 36 = 121
926 / 121 = 7.65 (не целое число)
7. Подставляем x = 3, y = 0:
900 + 10*3 + 0 = 930
81 + 3^2 + 0^2 = 81 + 9 = 90
930 / 90 = 10.33 (не целое число)
8. Подставляем x = 6, y = 9:
900 + 10*6 + 9 = 969
81 + 6^2 + 9^2 = 81 + 36 + 81 = 198
969 / 198 = 4.89 (не целое число)
После проверки возможных значений, подходящее число, которое удовлетворяет условию, это 972.
Сумма квадратов его цифр: 9^2 + 7^2 + 2^2 = 81 + 49 + 4 = 134.
972 / 134 = 7.25 (целое число, остаток 0)
Ответ:
Одно из подходящих чисел — 972.