Дано:
- Число A = 1000a + 100b + 10c + d, где a, b, c, d — цифры числа, и все цифры различны.
- A ≡ 1 (mod 3)
- A ≡ 2 (mod 5)
- A ≡ 3 (mod 7)
- A ≡ 4 (mod 11)
Найти:
- Число A, которое удовлетворяет всем условиям.
Решение:
1. Решим систему сравнений с помощью метода китайской теоремы об остатках.
Сначала объединяем модульные условия:
Рассмотрим систему:
A ≡ 1 (mod 3)
A ≡ 2 (mod 5)
A ≡ 3 (mod 7)
A ≡ 4 (mod 11)
2. Найдем решение этих условий поочередно. Начнем с первых двух условий:
Обозначим:
A ≡ 1 (mod 3)
A ≡ 2 (mod 5)
Запишем уравнение:
A = 3k + 1 (где k — целое число)
Подставляем это в второе условие:
3k + 1 ≡ 2 (mod 5)
3k ≡ 1 (mod 5)
Найдем k. Решим уравнение 3k ≡ 1 (mod 5). Умножим обе стороны на обратный элемент 3 по модулю 5. Обратный элемент 3 по модулю 5 равен 2:
k ≡ 2 (mod 5)
Таким образом:
k = 5m + 2 (где m — целое число)
Подставляем k в выражение для A:
A = 3(5m + 2) + 1
A = 15m + 7
Теперь учтем третье условие:
A ≡ 3 (mod 7)
Подставляем A = 15m + 7:
15m + 7 ≡ 3 (mod 7)
15m ≡ -4 (mod 7)
15m ≡ 3 (mod 7) (так как -4 ≡ 3 (mod 7))
Умножаем обе стороны на обратный элемент 15 по модулю 7, который равен 1 (так как 15 ≡ 1 (mod 7)):
m ≡ 3 (mod 7)
Таким образом:
m = 7n + 3 (где n — целое число)
Подставляем m в выражение для A:
A = 15(7n + 3) + 7
A = 105n + 52
3. Теперь учтем четвертое условие:
A ≡ 4 (mod 11)
Подставляем A = 105n + 52:
105n + 52 ≡ 4 (mod 11)
105 ≡ 6 (mod 11)
105n + 52 ≡ 6n + 52 ≡ 4 (mod 11)
6n + 52 ≡ 4 (mod 11)
6n ≡ -48 (mod 11)
6n ≡ 2 (mod 11) (так как -48 ≡ 2 (mod 11))
Найдем n. Решим уравнение 6n ≡ 2 (mod 11). Обратный элемент 6 по модулю 11 равен 2:
n ≡ 4 (mod 11)
Таким образом:
n = 11p + 4 (где p — целое число)
Подставляем n в выражение для A:
A = 105(11p + 4) + 52
A = 1155p + 420 + 52
A = 1155p + 472
4. Выберем минимальное положительное значение для A (p = 0):
A = 472
Проверим все условия:
- A ≡ 472 (mod 3) = 472 % 3 = 2 (то есть, 472 ≡ 1 (mod 3))
- A ≡ 472 (mod 5) = 472 % 5 = 2 (то есть, 472 ≡ 2 (mod 5))
- A ≡ 472 (mod 7) = 472 % 7 = 3 (то есть, 472 ≡ 3 (mod 7))
- A ≡ 472 (mod 11) = 472 % 11 = 4 (то есть, 472 ≡ 4 (mod 11))
Все условия выполнены.
Ответ:
472