Дано:
Трёхзначное число N, меньшее 900, все цифры которого различны.
N делится на 11 с остатком 2, то есть N ≡ 2 (mod 11).
N делится на 13 с остатком 1, то есть N ≡ 1 (mod 13).
Найти:
Число N.
Решение:
Для нахождения числа, удовлетворяющего условиям, используем метод поиска чисел, которые соответствуют системе линейных сравнений.
1. Запишем систему сравнений:
N ≡ 2 (mod 11)
N ≡ 1 (mod 13)
2. Найдём решение этой системы. В этом случае мы можем использовать метод подстановки.
Пусть N = 11k + 2 для некоторого целого k. Подставим это в второе сравнение:
11k + 2 ≡ 1 (mod 13)
Переносим 2 на другую сторону:
11k ≡ -1 (mod 13)
Заметим, что -1 ≡ 12 (mod 13), тогда:
11k ≡ 12 (mod 13)
Найдём обратный элемент для 11 по модулю 13. Проверим числа:
11 * 6 ≡ 66 ≡ 1 (mod 13), значит обратный элемент к 11 по модулю 13 равен 6.
Умножим обе стороны на 6:
k ≡ 12 * 6 (mod 13)
k ≡ 72 (mod 13)
k ≡ 7 (mod 13)
Подставляем k = 13m + 7 в формулу N = 11k + 2:
N = 11(13m + 7) + 2
N = 143m + 77 + 2
N = 143m + 79
3. Найдём значения N, которые меньше 900:
При m = 0: N = 79
При m = 1: N = 222
При m = 2: N = 365
При m = 3: N = 508
При m = 4: N = 651
При m = 5: N = 794
Все значения соответствуют условию, что число меньше 900. Проверяем, чтобы все цифры были различными:
- 79: цифры 7 и 9 — различны.
- 222: цифры 2 и 2 — не различны.
- 365: цифры 3, 6 и 5 — различны.
- 508: цифры 5, 0 и 8 — различны.
- 651: цифры 6, 5 и 1 — различны.
- 794: цифры 7, 9 и 4 — различны.
Таким образом, подходящие числа: 79, 365, 508, 651, 794.
Поскольку нас интересует трёхзначное число, подходящие значения:
365, 508, 651, 794.
4. Проверяем все трёхзначные числа:
Проверяем:
365: все цифры различны.
508: все цифры различны.
651: все цифры различны.
794: все цифры различны.
Ответ:
365, 508, 651, 794