Дано:
Трехзначное число, большее 900, все цифры которого различны. При делении числа как на 13, так и на 15 в остатке получается 1.
Найти:
Трехзначное число, которое соответствует указанным условиям.
Решение:
1. Пусть число обозначается как N. Условие деления на 13 и 15 в остатке 1 можно записать как:
N ≡ 1 (mod 13)
N ≡ 1 (mod 15)
2. Мы ищем такое N, которое удовлетворяет этим условиям и больше 900. Сначала найдем общее решение для чисел, которые дают остаток 1 при делении на 13 и 15.
3. Так как 13 и 15 взаимно просты, используем китайскую теорему об остатках. Общий модуль равен произведению 13 и 15:
13 * 15 = 195
4. Таким образом, число N можно записать как:
N = 195k + 1
5. Нам нужно найти значение k такое, чтобы N было больше 900 и все цифры числа N были различны. Подставляем различные значения k:
- Для k = 4: N = 195 * 4 + 1 = 781
- Для k = 5: N = 195 * 5 + 1 = 976
6. Проверяем, удовлетворяет ли 976 условиям:
- Число больше 900
- Все цифры числа 976 различны
Ответ:
976