дано:
- Остаток от деления числа на 3 равен 2.
- Остаток от деления числа на 5 равен 2.
- Остаток от деления числа на 11 равен 2.
найти:
- Трёхзначное число, все цифры которого различны, удовлетворяющее данным условиям.
решение:
1. Обозначим число как N. Согласно условиям, у нас есть следующие равенства:
N ≡ 2 (mod 3)
N ≡ 2 (mod 5)
N ≡ 2 (mod 11)
2. Эти условия означают, что N можно выразить в виде:
N = 2 + 3k
N = 2 + 5m
N = 2 + 11n
где k, m, и n – целые числа.
3. Выразим это в одном уравнении. Пусть N = 2 + LCM(3, 5, 11) * t, где t – целое число. Находим наименьшее общее кратное (LCM) для чисел 3, 5 и 11:
LCM(3, 5) = 15
LCM(15, 11) = 165
Таким образом, N = 2 + 165t.
4. Для нахождения трёхзначного числа подставим разные значения t и проверим:
- Для t = 0: N = 2 + 165 * 0 = 2 (менее 100)
- Для t = 1: N = 2 + 165 * 1 = 167 (трёхзначное число)
5. Проверим, что все цифры в числе 167 различны. Да, это так.
ответ:
Одним из трёхзначных чисел, удовлетворяющих условиям, является 167.