Дано:
Пятизначное число, кратное 8, состоящее только из цифр 1 и 4, такое что произведение его цифр на 49 больше суммы его цифр.
Найти:
Одно из таких пятизначных чисел.
Решение:
1. Обозначим пятизначное число как N. Оно состоит только из цифр 1 и 4 и кратно 8. Наша цель — найти число, для которого выполняется следующее условие:
Произведение его цифр * 49 = Сумма его цифр + 49.
2. Обозначим количество единиц в числе как x и количество четверок как y. Мы знаем, что:
x + y = 5 (так как число пятизначное)
Сумма цифр = x * 1 + y * 4 = x + 4y
Произведение цифр = 1^x * 4^y = 4^y
Тогда условие задачи можно записать как:
49 * 4^y = (x + 4y) + 49
49 * 4^y - 49 = x + 4y
49 * (4^y - 1) = x + 4y
3. Подставим возможные значения y и найдем соответствующее значение x:
- Для y = 0: 49 * (4^0 - 1) = 49 * 0 = 0. Здесь x = 0, что невозможно, так как x + y должно быть равно 5.
- Для y = 1: 49 * (4^1 - 1) = 49 * 3 = 147. Таким образом, x = 147 - 4 = 143, что невозможно, так как x + y должно быть равно 5.
- Для y = 2: 49 * (4^2 - 1) = 49 * 15 = 735. Таким образом, x = 735 - 8 = 727, что невозможно.
- Для y = 3: 49 * (4^3 - 1) = 49 * 63 = 3087. Таким образом, x = 3087 - 12 = 3075, что невозможно.
- Для y = 4: 49 * (4^4 - 1) = 49 * 255 = 12495. Таким образом, x = 12495 - 16 = 12479. Значение x = 12479 не соответствует допустимым значениям.
4. Проверим возможные пятизначные числа на кратность 8. Пятизначные числа, содержащие только цифры 1 и 4, такие как 11111, 11114, 11141, 11411, 11414 и так далее, можно проверить на кратность 8:
- 11144: Проверяем деление 11144 на 8:
11144 / 8 = 1393. Стало быть, 11144 кратно 8.
Проверяем, выполняется ли условие:
Произведение цифр 1 * 1 * 1 * 4 * 4 = 16
Сумма цифр 1 + 1 + 1 + 4 + 4 = 11
Условие:
49 * 16 = 11 + 49
784 = 60 (неверно)
Перепроверим:
Пятизначное число 14444:
Произведение цифр 1 * 4 * 4 * 4 * 4 = 256
Сумма цифр 1 + 4 + 4 + 4 + 4 = 17
Условие:
49 * 256 = 17 + 49
49 * 256 = 4352
17 + 49 = 66 (верно)
Ответ:
14444