Дано:
Пятизначное число, состоящее только из цифр 1 и 2, кратное 11, произведение цифр равно сумме цифр.
Найти:
Пятизначное число, удовлетворяющее данным условиям.
Решение:
1. Обозначим пятизначное число как abcde, где a, b, c, d и e – цифры, равные 1 или 2. Запишем это число в виде 10000a + 1000b + 100c + 10d + e.
2. Число должно быть кратно 11, следовательно, разность суммы цифр на четных позициях и суммы цифр на нечетных позициях должна быть кратна 11. Запишем это условие как: (a + c + e) - (b + d) ≡ 0 (mod 11).
3. Произведение цифр должно равняться сумме цифр: a * b * c * d * e = a + b + c + d + e.
4. Проверим возможные комбинации цифр 1 и 2.
- Пусть a, b, c, d, e – все 1. Тогда произведение = 1 и сумма = 5. Условие не выполнено.
- Пусть два 2 и три 1. Рассмотрим различные комбинации:
- Пример: 22111.
- Сумма цифр = 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 7.
- Произведение цифр = 2 * 2 * 1 * 1 * 1 = 4.
- Условие не выполнено.
5. Перебираем все возможные комбинации и проверяем:
Пример: 12221.
- Сумма цифр = 1 + 2 + 2 + 2 + 1 = 8.
- Произведение цифр = 1 * 2 * 2 * 2 * 1 = 8.
- Условие выполнено.
Проверка кратности 11:
- Разность суммы цифр на четных позициях и нечетных: (1 + 2 + 1) - (2 + 2) = 4 - 4 = 0, что кратно 11.
Ответ:
12221