Дано:
- Количество студентов, сдающих информатику или химию: 28
- Количество студентов, сдающих информатику или физику: 26
- Количество студентов, сдающих химию или физику: 24
- Количество студентов, сдающих информатику и химию: 5
- Количество студентов, сдающих информатику и физику: 7
- Количество студентов, сдающих химию и физику: 6
- Количество студентов, сдающих все три предмета: 2
Найти:
- Общее количество студентов в классе.
Решение:
Обозначим:
- A — количество студентов, сдающих информатику
- B — количество студентов, сдающих химию
- C — количество студентов, сдающих физику
Используя формулы для объединения множеств, мы можем записать:
1. |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| = 28
2. |A ∪ C| = |A| + |C| - |A ∩ C| = 26
3. |B ∪ C| = |B| + |C| - |B ∩ C| = 24
Также учитываем пересечения:
- |A ∩ B| = 5
- |A ∩ C| = 7
- |B ∩ C| = 6
- |A ∩ B ∩ C| = 2
Теперь подставим известные значения в уравнения:
1. |A| + |B| - 5 = 28
2. |A| + |C| - 7 = 26
3. |B| + |C| - 6 = 24
Из первого уравнения:
|A| + |B| = 33 (1)
Из второго уравнения:
|A| + |C| = 33 (2)
Из третьего уравнения:
|B| + |C| = 30 (3)
Теперь выразим |C| через |A| и |B|:
Из (1) и (2):
|A| + |B| = |A| + |C| = 33
Следовательно, |B| = |C|.
Теперь подставим |C| = |B| в уравнение (3):
|B| + |B| = 30
2|B| = 30
|B| = 15
Теперь подставим значение |B| в уравнение (1):
|A| + 15 = 33
|A| = 18
Теперь подставим |A| в уравнение (2):
18 + |C| = 33
|C| = 15
Теперь у нас есть:
|A| = 18
|B| = 15
|C| = 15
Теперь можем найти общее количество студентов в классе:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Подставляем известные значения:
|A ∪ B ∪ C| = 18 + 15 + 15 - 5 - 7 - 6 + 2
Вычислим:
|A ∪ B ∪ C| = 48 - 18 + 2 = 32
Ответ:
Всего в классе 32 человека.