дано:
A1C1 = 4√2 (диагональ основания),
BD1 = 4√6 (диагональ боковой грани).
найти:
Объем правильной четырехугольной призмы V ABCDA1B1C1D1.
решение:
В правильной четырехугольной призме основание является квадратом. Сначала найдем длину стороны квадрата (a) используя диагональ A1C1.
Для квадрата диагональ можно найти по формуле:
A1C1 = a√2.
Подставим известное значение:
4√2 = a√2.
Теперь выразим a:
a = 4.
Теперь можем найти площадь основания (S) квадрата:
S = a² = 4² = 16.
Теперь найдем высоту призмы (h) используя диагональ BD1. В правильной четырехугольной призме диагональ боковой грани вычисляется по формуле:
BD1² = a² + h².
Подставим известные значения:
(4√6)² = 4² + h²,
96 = 16 + h²,
h² = 96 - 16 = 80.
Теперь найдем h:
h = √80 = √(16*5) = 4√5.
Теперь у нас есть площадь основания и высота. Объем призмы вычисляется по формуле:
V = S * h.
Подставим значения:
V = 16 * 4√5 = 64√5.
ответ:
Объем правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равен 64√5.