Дано:
- Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d (в СИ).
- Высота призмы составляет 0,6 этой диагонали.
- Необходимо найти площадь полной поверхности призмы ABCDA1B1C1D1 и проверить, верно ли, что площадь поверхности призмы ABDA1B1D1 вдвое меньше площади поверхности полной призмы.
Найти:
- Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы.
- Проверить, является ли площадь поверхности пирамиды ABDA1B1D1 вдвое меньше площади полной поверхности.
Решение:
1. Определение параметров призмы:
Призма имеет квадратное основание, высоту и боковые грани, которые являются прямоугольными трапециями.
Пусть сторона основания правильной призмы — это а. Диагональ боковой грани является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого одна из сторон — это сторона основания, а другая — высота призмы h.
По теореме Пифагора для диагонали боковой грани (d) имеем:
d² = а² + h².
Из условия задачи известно, что высота призмы h = 0,6 * d. Подставим это в уравнение:
d² = а² + (0,6 * d)².
Упростим:
d² = а² + 0,36 * d².
Переносим 0,36 * d² на одну сторону:
d² - 0,36 * d² = а²,
0,64 * d² = а².
Отсюда находим сторону основания:
а = d * √0,64 = 0,8 * d.
2. Площадь полной поверхности призмы:
Площадь полной поверхности призмы состоит из площади двух оснований и площади боковых граней. Основания — это квадраты, площадь одного основания:
Площадь основания = а² = (0,8 * d)² = 0,64 * d².
Площадь двух оснований:
Площадь двух оснований = 2 * 0,64 * d² = 1,28 * d².
Теперь найдем площадь боковых граней. Каждая боковая грань — это прямоугольник с длиной стороны основания а и высотой призмы h. Площадь одной боковой грани:
Площадь одной боковой грани = а * h = 0,8 * d * 0,6 * d = 0,48 * d².
Площадь всех 4 боковых граней:
Площадь боковых граней = 4 * 0,48 * d² = 1,92 * d².
Полная площадь поверхности призмы:
Площадь полной поверхности = Площадь двух оснований + Площадь боковых граней = 1,28 * d² + 1,92 * d² = 3,2 * d².
3. Площадь поверхности призмы ABDA1B1D1:
Эта призма состоит из одного основания и четырех боковых граней, но только 2 из них — это боковые грани, которые образуют боковые стороны.
Площадь одного основания = 0,64 * d².
Площадь боковых граней — только 2 из 4, как для боковых сторон:
Площадь боковых граней = 2 * 0,48 * d² = 0,96 * d².
Площадь поверхности призмы ABDA1B1D1:
Площадь поверхности ABDA1B1D1 = Площадь основания + Площадь боковых граней = 0,64 * d² + 0,96 * d² = 1,6 * d².
4. Проверка:
Для того чтобы площадь поверхности призмы ABDA1B1D1 была в два раза меньше площади полной поверхности призмы, нужно, чтобы:
Площадь полной поверхности = 2 * Площадь поверхности ABDA1B1D1.
Проверим:
3,2 * d² = 2 * 1,6 * d².
Это верно, так как обе стороны равны.
Ответ:
Площадь полной поверхности призмы ABCDA1B1C1D1 равна 3,2 * d². Утверждение, что площадь поверхности призмы ABDA1B1D1 вдвое меньше площади полной поверхности призмы, верно.