В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, точка О – центр основания, S – вершина. Высота пирамиды 48, боковое ребро 60. Найдите диагональ основания пирамиды.
от

1 Ответ

дано:  
высота пирамиды SO = 48,  
боковое ребро SB = 60.

найти:  
диагональ основания BD.

решение:  
Рассмотрим треугольник SOB, где S – вершина пирамиды, O – центр основания, и B – одна из вершин основания. Применим теорему Пифагора для этого треугольника:

SB² = SO² + OB²,

где OB – расстояние от центра основания до вершины B.

Подставим известные значения в уравнение:

60² = 48² + OB².

Теперь вычислим квадрат бокового ребра и высоты:

3600 = 2304 + OB².

Теперь решим уравнение относительно OB²:

OB² = 3600 - 2304 = 1296.

Найдем OB:

OB = √1296 = 36.

Теперь мы знаем, что OB – это расстояние от центра основания до вершины B. Поскольку основание является квадратом, его диагональ BD можно выразить через сторону a следующим образом:

BD = a√2.

Также можем выразить OB через сторону a:

OB = (a√2) / 2.

Теперь подставим значение OB в выражение:

36 = (a√2) / 2.

Умножим обе стороны на 2:

72 = a√2.

Теперь найдем a:

a = 72 / √2 = 72 * (√2 / 2) = 36√2.

Теперь найдем диагональ BD:

BD = a√2 = (36√2)√2 = 36 * 2 = 72.

ответ:  
Диагональ основания BD равна 72.
от