Дано:
- Длина круговой трассы L = 24 км
- Время, через которое первый автомобиль обогнал второго t_1 = 48 минут = 48/60 часов = 0.8 часа
- Первый автомобиль завершил 6 кругов на 48 минут (t_2) раньше второго.
Найти: скорость первого автомобиля v_1.
Решение:
1. Обозначим скорость первого автомобиля как v_1, а второго - как v_2.
2. Первый автомобиль за время t_1 (0.8 часа) проезжает 1 круг и догоняет второго:
расстояние первого автомобиля: S_1 = v_1 * t_1 = v_1 * 0.8
3. За это же время второй автомобиль проезжает:
расстояние второго автомобиля: S_2 = v_2 * t_1 = v_2 * 0.8
4. С учетом того, что первый автомобиль обогнал второго на круг, имеем:
S_1 = S_2 + L
v_1 * 0.8 = v_2 * 0.8 + 24
5. Упрощаем уравнение:
v_1 * 0.8 - v_2 * 0.8 = 24
0.8(v_1 - v_2) = 24
v_1 - v_2 = 30 (1)
6. Теперь рассмотрим время, за которое каждый автомобиль проехал свои круги.
Время, затраченное первым автомобилем на 6 кругов:
t_1 = 6L/v_1 = 6 * 24 / v_1 = 144 / v_1
Время второго автомобиля на 6 кругов, учитывая, что он на 48 минут позже:
t_2 = t_1 + 48/60 = 144/v_1 + 0.8
Второй автомобиль проехал 6 кругов:
t_2 = 6L/v_2 = 144 / v_2
7. Приравниваем эти два выражения для времени второго автомобиля:
144/v_2 = 144/v_1 + 0.8
8. Умножаем все на v_1 * v_2 для избавления от дробей:
144v_1 = 144v_2 + 0.8v_1v_2
9. Упрощаем:
144v_1 - 144v_2 = 0.8v_1v_2
10. Подставляем v_1 из уравнения (1):
v_2 = v_1 - 30
144v_1 - 144(v_1 - 30) = 0.8v_1(v_1 - 30)
11. Упрощаем:
144v_1 - 144v_1 + 4320 = 0.8v_1^2 - 24v_1
4320 = 0.8v_1^2 - 24v_1
0.8v_1^2 - 24v_1 - 4320 = 0
12. Умножим на 10 для удобства:
8v_1^2 - 240v_1 - 43200 = 0
13. Решаем квадратное уравнение по формуле дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-240)^2 - 4 * 8 * (-43200) = 57600 + 1382400 = 1440000
Корни уравнения:
v_1 = (240 ± √1440000) / (2 * 8)
14. Находим корни:
v_1 = (240 ± 1200) / 16
v_1 = 64 или v_1 = -60 (отрицательная скорость не имеет смысла).
Ответ: скорость первого автомобиля v_1 = 64 км/ч.