Question

При помощи таблиц истинности докажите логические тождества (распределительные свойства):
а)  А ∩ (В ∪ С) = (А ∩В) ∪ (А ∩ С);
б)  A ∪ (В ∩ С) = (A v В) ∩ (A ∪ С).

Answer 1

дано: A, B, C - логические переменные (могут принимать значения Истина или Ложь)

найти: а) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) б) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

решение:

Для проверки тождеств составим таблицы истинности.

а) Рассмотрим выражение A ∩ (B ∪ C) и (A ∩ B) ∪ (A ∩ C):

A	B	C	B ∪ C	A ∩ (B ∪ C)	A ∩ B	A ∩ C	(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	И	Л	Л	Л	Л
Л	И	Л	И	Л	Л	Л	Л
Л	И	И	И	Л	Л	Л	Л
И	Л	Л	Л	Л	И	И	И
И	Л	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	Л	И
И	И	И	И	И	И	И	И

Сравнивая столбцы A ∩ (B ∪ C) и (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), видим, что они совпадают. Таким образом, первое тождество доказано.

б) Рассмотрим выражение A ∪ (B ∩ C) и (A ∪ B) ∩ (A ∪ C):

A	B	C	B ∩ C	A ∪ (B ∩ C)	A ∪ B	A ∪ C	(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л	Л	И	Л
Л	И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	И	И	И
И	Л	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	Л	И	И	И	И
И	И	И	И	И	И	И	И

Сравнивая столбцы A ∪ (B ∩ C) и (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), видим, что они также совпадают. Таким образом, второе тождество доказано.

ответ: а) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) - доказано. б) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) - доказано.