Question

При помощи таблиц истинности докажите логические тождества: (законы де Моргана):
a) {A∪ В) = А∩В; б) (А ∩ В) = A ∪ В.

Answer 1

дано: A, B - логические переменные (могут принимать значения Истина или Ложь)

найти: a) ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B б) ¬(A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B

решение:

Для проверки тождеств составим таблицы истинности.

a) Рассмотрим выражение ¬(A ∪ B) и ¬A ∩ ¬B:

A	B	A ∪ B	¬(A ∪ B)	¬A	¬B	¬A ∩ ¬B
Л	Л	Л	И	И	И	И
Л	И	И	Л	И	Л	Л
И	Л	И	Л	Л	И	Л
И	И	И	Л	Л	Л	Л

Сравнивая столбцы ¬(A ∪ B) и ¬A ∩ ¬B, видим, что они не совпадают. Таким образом, первое тождество не доказано.

б) Рассмотрим выражение ¬(A ∩ B) и ¬A ∪ ¬B:

A	B	A ∩ B	¬(A ∩ B)	¬A	¬B	¬A ∪ ¬B
Л	Л	Л	И	И	И	И
Л	И	Л	И	И	Л	И
И	Л	Л	И	Л	И	И
И	И	И	Л	Л	Л	Л

Сравнивая столбцы ¬(A ∩ B) и ¬A ∪ ¬B, видим, что они также не совпадают. Таким образом, второе тождество не доказано.

ответ: a) ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B - не доказано. б) ¬(A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B - не доказано.