дано: множества A и B, где A – множество элементов, удовлетворяющих некоторому условию, а B – множество элементов, удовлетворяющих другому условию.
найти: доказать логические тождества
а) A ∩ B = (A -> B)
б) A ∪ B = A -> B
решение:
а) Доказательство первого тождества A ∩ B = (A -> B):
1. Рассмотрим определение пересечения множеств A и B: A ∩ B содержит все элементы, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.
2. Теперь принимаем логическую импликацию A -> B. Это выражение истинно, если:
- Если элемент x принадлежит A, то он также должен принадлежать B.
- В противном случае, если x не принадлежит A, импликация A -> B всегда истинна, независимо от принадлежности x к B.
3. Таким образом, A ∩ B будет состоять из всех элементов, которые одновременно принадлежат обоим множествам, что соответствует условию истинности A -> B.
4. Следовательно, A ∩ B = (A -> B).
б) Доказательство второго тождества A ∪ B = A -> B:
1. Рассмотрим определение объединения множеств A и B: A ∪ B содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.
2. Импликация A -> B также можно интерпретировать как "если элемент x принадлежит A, то он принадлежит B", что подразумевает, что в любом случае, если x находится в A, оно также должно находиться в B.
3. В этом контексте, если x принадлежит A, но не принадлежит B, то A -> B ложно, что указывает на то, что элементы, не принадлежащие B, будут исключены из условия.
4. Однако, если x не принадлежит A, тогда A -> B истинно независимо от того, принадлежит ли оно B.
5. Это означает, что объединение A и B охватывает все возможные варианты принадлежности элементов, что соответствует истине для A -> B.
6. Следовательно, A ∪ B = A -> B.
ответ:
а) A ∩ B = (A -> B) верно.
б) A ∪ B = A -> B верно.