дано: множества A и B, где A – множество элементов, удовлетворяющих некоторому условию, а B – множество элементов, удовлетворяющих другому условию.
найти: доказать логические тождества
a) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = A
б) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A
решение:
a) Доказательство первого тождества (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = A:
1. Рассмотрим выражение (A ∪ B). Это объединение содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.
2. Операция пересечения (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) фактически не изменяет множество и просто возвращает (A ∪ B), поскольку пересекаем одно и то же множество с самим собой.
3. Теперь для того, чтобы показать равенство с A, мы можем заметить, что A содержится в (A ∪ B).
4. Следовательно, (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) будет равно A только в случае, если B не добавляет никаких новых элементов, что делает равенство истинным, если B является подмножеством A.
5. Однако при общем рассмотрении это выражение не всегда равно A, поэтому это тождество неверно в общем смысле.
б) Доказательство второго тождества (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A:
1. Рассмотрим выражение (A ∩ B). Это пересечение содержит все элементы, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.
2. Операция объединения (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) фактически не изменяет множество и просто возвращает (A ∩ B), поскольку объединим одно и то же множество с самим собой.
3. Таким образом, (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A ∩ B.
4. Чтобы получить равенство с A, необходимо, чтобы A было равно (A ∩ B), что происходит только в случае, если все элементы A также находятся в B. Однако в общем случае это равно A только если B включает в себя все элементы A.
5. Поэтому это тождество также не всегда выполняется в общем смысле.
ответ:
a) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = A неверно в общем случае.
б) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A неверно в общем случае.