дано:
A и B — произвольные множества.
найти: Проверить верность тождеств:
а) A \ B = A ∩ B;
б) A \ B = A ∪ B.
решение:
а) Рассмотрим тождество A \ B = A ∩ B.
1. A \ B обозначает множество всех элементов, которые принадлежат A, но не принадлежат B. То есть A \ B = {x | x ∈ A и x ∉ B}.
2. A ∩ B представляет собой множество всех элементов, которые принадлежат одновременно как A, так и B. То есть A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}.
3. Сравнив оба выражения, видно, что A \ B состоит из тех же элементов, что и A ∩ B, только при разных условиях.
4. Следовательно, это два разных множества, и выражение A \ B не может быть равно A ∩ B.
Таким образом, тождество а) ложно.
б) Рассмотрим тождество A \ B = A ∪ B.
1. Как мы уже установили, A \ B — это множество всех элементов, которые принадлежат A и не принадлежат B: A \ B = {x | x ∈ A и x ∉ B}.
2. A ∪ B — это множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B: A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B}.
3. Сравнив оба выражения, можно заметить, что A \ B включает элементы, находящиеся в A, но не в B, в то время как A ∪ B включает элементы из обоих множеств без исключений.
4. Из этого следует, что A \ B и A ∪ B никогда не будут равны, поскольку первое содержит лишь элементы из A, которые не входят в B, а второе охватывает элементы из обоих множеств.
Таким образом, тождество б) также ложно.
ответ:
а) Тождество A \ B = A ∩ B ложно.
б) Тождество A \ B = A ∪ B ложно.