Дано:
Граф G, в котором любая пара вершин соединена единственной цепью.
Найти:
Доказательство того, что граф G является деревом.
Решение:
1. По определению, дерево - это связный граф без циклов.
2. Поскольку в графе G между любыми двумя вершинами существует единственная цепь, это означает, что они связаны.
3. Предположим, что в графе G есть цикл. Обозначим вершины, которые образуют этот цикл, как V1, V2, ..., Vk.
4. Из определения цикла следует, что между некоторыми вершинами Vi и Vj может существовать более одной цепи (одна цепь - по циклу, другая - через оставшиеся вершины), что противоречит условию задачи о единственности цепи.
5. Следовательно, в графе G не может быть циклов.
6. Теперь, чтобы показать, что G является связным, рассмотрим любые две вершины A и B. По условию, между ними существует единственная цепь, значит, они связаны.
7. Поскольку G не содержит циклов и является связным, он соответствует определению дерева.
Ответ:
Граф G является деревом.