Дано:
- Симметричная монета (орёл и решка).
- Подбрасывания: 3 раза.
- Искомая вероятность: ровно один орёл.
Найти:
а) Вероятность того, что выпал ровно один орёл, если известно, что при втором броске выпал орёл (P(1 орёл | 2-й бросок = орёл)).
б) Вероятность того, что выпал ровно один орёл, если не все три раза выпал орёл (P(1 орёл | не все три раза орлы)).
Решение:
a) Для решения задачи воспользуемся условной вероятностью. Рассмотрим все возможные исходы, при которых второй бросок - орёл.
Возможные последовательности из трех бросков, где второй бросок - орёл:
1. ООO
2. ОРO
3. РОО
4. РОР
5. РРО
Теперь определим среди этих вариантов те, в которых ровно один орёл:
- ОРР
- РОР
- РРО
Количество благоприятных исходов, где ровно один орёл и второй бросок - орёл: 1 (только последовательность РОР).
Общее количество исходов, где второй бросок - орёл: 5.
Вероятность P(1 орёл | 2-й бросок = орёл) вычисляется как:
P(1 орёл | 2-й бросок = орёл) = Количество благоприятных исходов / Общее количество исходов = 1/5.
Ответ: Вероятность того, что выпал ровно один орёл, если известно, что при втором броске выпал орёл, равна 1/5.
b) Теперь найдем вероятность P(1 орёл | не все три раза орлы).
Сначала определим общее количество исходов для трех бросков. Всего возможных исходов: 2^3 = 8 (включая все варианты, где могут быть как орлы, так и решки).
Из этих 8 исходов исключаем случай, когда все три броска - орлы (это один случай: ООО). Значит, оставшиеся исходы: 7.
Теперь среди этих 7 случаев находим те, где ровно один орёл:
- ОРР
- РОР
- РРО
Количество благоприятных исходов с одним орлом: 3.
Вероятность P(1 орёл | не все три раза орлы) вычисляется как:
P(1 орёл | не все три раза орлы) = Количество благоприятных исходов / Общее количество исходов = 3/7.
Ответ: Вероятность того, что выпал ровно один орёл, если не все три раза выпал орёл, равна 3/7.