Дано:
Натуральные числа от 1 до 48.
Событие C: "число чётное".
Событие D: "число делится на 3" или "число делится на 7".
Найти:
Являются ли события C и D независимыми.
Сначала найдем общее количество натуральных чисел от 1 до 48:
n(Ω) = 48.
Теперь определим вероятность события C:
Четные числа от 1 до 48: 2, 4, 6, ..., 48.
Количество четных чисел: 48/2 = 24.
Следовательно, P(C) = 24/48 = 1/2.
Теперь определим событие D в двух случаях:
а) Событие D: "число делится на 3".
Числа, делящиеся на 3 от 1 до 48: 3, 6, 9, ..., 48.
Числа имеют вид 3k (где k - целое число).
Максимальное значение k, удовлетворяющее неравенству 3k ≤ 48, равно 16.
Таким образом, количество чисел, делящихся на 3: 16.
Следовательно, P(D) = 16/48 = 1/3.
Теперь найдем вероятность пересечения событий C и D:
C∩D: четные числа, делящиеся на 3: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42.
Всего чисел: 7.
Следовательно, P(C∩D) = 7/48.
Теперь проверяем условие независимости:
P(C) * P(D) = (1/2) * (1/3) = 1/6.
Сравниваем:
P(C∩D) = 7/48
P(C) * P(D) = 1/6 = 8/48.
Ответ:
События C и D не являются независимыми в части (а).
б) Событие D: "число делится на 7".
Числа, делящиеся на 7 от 1 до 48: 7, 14, 21, 28, 35, 42.
Всего чисел: 6.
Следовательно, P(D) = 6/48 = 1/8.
Теперь найдем вероятность пересечения событий C и D:
C∩D: четные числа, делящиеся на 7: 14, 28, 42.
Всего чисел: 3.
Следовательно, P(C∩D) = 3/48 = 1/16.
Теперь проверяем условие независимости:
P(C) * P(D) = (1/2) * (1/8) = 1/16.
Сравниваем:
P(C∩D) = 1/16
P(C) * P(D) = 1/16.
Ответ:
События C и D являются независимыми в части (б).