Дано:
Событие A — «выпадет чётное число очков». Событие B — «выпадет число очков, кратное 3» или «выпадет число очков, кратное 5».
Найти:
Являются ли события A и B независимыми?
Решение:
Для того чтобы события A и B были независимыми, произведение вероятностей событий A и B должно быть равно вероятности произведения этих событий: P(A and B) = P(A) * P(B).
а) Вероятность того, что выпадет число очков, кратное 3 (событие B): P(B) = 2/6 = 1/3, так как есть 2 числа на игральной кости, кратные 3.
Вероятность того, что выпадет чётное число очков (событие A): P(A) = 3/6 = 1/2, так как половина значений на игральной кости являются четными.
Теперь найдем вероятность произведения событий: P(A and B) = P(четное число и число, кратное 3) = 1/6, так как только число 6 является четным и кратным 3.
P(A) * P(B) = 1/2 * 1/3 = 1/6.
Мы видим, что P(A and B) равно P(A) * P(B), поэтому события A и B независимы.
б) Вероятность того, что выпадет число очков, кратное 5 (событие B): P(B) = 1/6, так как только число 5 является кратным 5.
Вероятность того, что выпадет чётное число очков (событие A): P(A) = 3/6 = 1/2.
Теперь найдем вероятность произведения событий: P(A and B) = P(четное число и число, кратное 5) = 0, так как нет четных чисел, кратных 5.
P(A) * P(B) = 1/2 * 1/6 = 1/12.
Мы видим, что P(A and B) не равно P(A) * P(B), поэтому события A и B зависимы.
Ответ:
а) События A и B являются независимыми.
б) События A и B являются зависимыми.