дано:
Игроки: 3 (первый, второй и третий).
Количество граней у игральной кости: 6.
Каждый игрок бросает одну игральную кость.
найти:
а) Вероятность того, что первый игрок получит приз.
б) Вероятность того, что хоть кто-то получит приз.
решение:
а) Чтобы первый игрок получил приз, его число должно отличаться от чисел, выпавших у второго и третьего игрока.
1. Пусть первый игрок выбрасывает число X. Поскольку кость имеет 6 граней, вероятность выпадения любого числа X равна 1/6.
2. Второй и третий игроки могут выбросить одно из 6 чисел. Чтобы первый игрок выиграл, оба остальные игрока должны выбросить числа, отличные от X.
3. Вероятность того, что второй игрок выбросит число, которое не равно X, составляет 5/6.
4. Аналогично, вероятность, что третий игрок тоже выбросит число, отличное от X, также составляет 5/6.
Таким образом, вероятность того, что первый игрок получит приз:
P(приз первого игрока) = P(выбросить X) * P(второй ≠ X) * P(третий ≠ X)
= (1/6) * (5/6) * (5/6)
= (1/6) * (25/36)
= 25/216.
б) Теперь найдем вероятность того, что хоть кто-то из игроков получит приз.
1. Сначала найдем вероятность того, что никто не получит приз. Это происходит в случае, если хотя бы два игрока выбросят одинаковое число.
2. Если все игроки выбросят разные числа, то приз получит один из них.
Сначала найдем количество способов, при которых все три игрока выбросят разные числа:
- Первый игрок может выбрать любое из 6 чисел (6 вариантов).
- Второй игрок может выбрать любое из оставшихся 5 чисел (5 вариантов).
- Третий игрок может выбрать любое из оставшихся 4 чисел (4 варианта).
Общее количество благоприятных исходов (разные числа для всех игроков) будет:
6 * 5 * 4 = 120.
Общее количество возможных исходов (каждый из трех игроков может выбросить любое из 6 чисел):
6^3 = 216.
Вероятность того, что все игроки выбросят разные числа:
P(все разные) = 120 / 216 = 10 / 18 = 5 / 9.
Теперь найдем вероятность того, что хоть кто-то из игроков получит приз:
P(хоть кто-то получает приз) = 1 - P(никто не получает приз)
= 1 - P(все одинаковые или хотя бы два одинаковых)
= P(все разные).
Следовательно, вероятность того, что хоть кто-то получит приз, равна 5/9.
ответ:
а) Вероятность того, что первый игрок получит приз составляет 25/216.
б) Вероятность того, что хоть кто-то получит приз составляет 5/9.