дано:
- Вероятность верного ответа первого советника равна p.
- Вероятность верного ответа второго советника также равна p.
найти:
а) Вероятность верного решения с двумя советниками по сравнению с одним.
б) Изменение вероятности верного решения при добавлении третьего независимого советника и использовании метода большинства.
решение:
а) В случае одного советника, вероятность верного решения равна p.
Теперь рассмотрим ситуацию с двумя советниками:
1. Возможные сценарии:
- Оба советника дают правильный ответ (с вероятностью p * p = p^2).
- Оба советника дают неправильный ответ (с вероятностью (1 - p) * (1 - p) = (1 - p)^2).
- Один советник говорит "да", а другой "нет".
2. Вероятность того, что они дадут разные ответы:
- Первый дает «да», второй «нет»: p * (1 - p).
- Первый дает «нет», второй «да»: (1 - p) * p.
- Суммарная вероятность получения разных ответов равна 2p(1 - p).
3. Теперь найдем вероятность верного решения:
- Верное решение в случаях, когда оба советника согласны, происходит с вероятностью p^2 + (1 - p)^2.
- Верное решение в случаях, когда ответы разные, будет 0.5, так как бизнесмен бросает монетку.
4. Общая вероятность верного решения с двумя советниками:
P(верное решение) = P(оба согласны) * P(верное решение | оба согласны) + P(разные ответы) * P(верное решение | разные ответы)
= (p^2 + (1 - p)^2) * 1 + 2p(1 - p) * 0.5
= p^2 + (1 - p)^2 + p(1 - p)
= p^2 + (1 - 2p + p^2) + (p - p^2)
= 2p^2 - 2p + 1
Теперь сравним с вероятностью верного решения с одним советником:
P(верное решение с 1 советником) = p.
Вероятность верного решения увеличилась, если 2p^2 - 2p + 1 > p, то есть 2p^2 - 3p + 1 > 0.
Это уравнение имеет два корня, значит возможно увеличение вероятности.
б) Добавим третьего независимого советника:
1. Все случаи теперь будут относиться к трём советникам, и мы будем следовать мнению большинства.
2. Рассмотрим возможные сценарии:
- Все три советника правы: p^3.
- Два советника правы, один ошибается: C(3, 2) * p^2 * (1 - p) = 3p^2(1 - p).
- Все три советника ошибаются: (1 - p)^3.
3. Вероятность верного решения с тремя советниками:
P(верное решение) = P(все правы) + P(двое правы, один ошибается) * 2/3 + P(все ошибаются) * 0
= p^3 + 3p^2(1 - p) * (2/3)
= p^3 + 2p^2(1 - p).
= p^3 + 2p^2 - 2p^3
= -p^3 + 2p^2
Сравнивая его с вероятностью верного решения с двумя советниками (2p^2 - 2p + 1), можно увидеть, что эта вероятность тоже может увеличиваться.
Ответ: а) Вероятность верного решения увеличилась, так как она последовательно превышает вероятность с одним советником. б) При добавлении третьего советника вероятность верного решения снова увеличится, поскольку мнение большинства будет более надежным.